Im Youtube-Video https://youtu.be/61FasQ6KQCI?t=161 ist zu sehen, wie das sehr kollegiale Verhältnis zwischen Sheldon und Howard aussieht.

Bevor es weiter geht, empfehle ich dringend, sich das Video anzuschauen.

If you're going to spend all your time trying to belittle me by making this class unnecessarily hard, then... I am out. But if you are interested in making a sincere effort to be a good teacher then I am willing to give this a shot.

I suppose that's a fair request. There is no reason we both can't benefit from this experience.

Okay :)

Well then, first things first: Are you familiar with the brachistochrone problem?

I am.

Good. And how it relates to the calculus of variations?

It's an inverted cycloid.

Wonderful. Now, uh, what about Euler-Lagrange Theorems? (= Euler-Lagrange equation)

That's where I am a little fuzzy...

Ha! I KNEW it!

:D

Die mathematischen Gleichungen auf der im Video zu sehenden Tafel sind das Thema dieses Beitrages.

Kleiner Scherz. Nur die erste Formel ist das Thema.

Sheldon fragt Howard unter anderem, ob er wisse, was das Verhältnis zwischen der Euler-Lagrange-Gleichung und der Variationsrechnung sei. Das war das Thema im vorherigen Beitrag! Sheldon fragt im Grunde nur nach, um zu sehen, ob Howard eine Ahnung von den Voraussetzungen (des eigentlich zu besprechenden Physikthemas) hat. Gut, er stellt auch andere (fiesere) Fragen, aber so ist Sheldon nun mal.

Zur Erinnerung: Die Variationsrechnung ist die mathematische Disziplin, um (am konkreten Beispiel des mathematischen Problems der Abstandsbestimmung) die Kurve bzw. den Pfad mit der geringsten Länge zwischen zwei gegebenen Punkten in einem Raum mit bestimmter Geometrie zu finden. Die Euler-Lagrange-Gleichung ist eine Differenzialgleichung, um ein Problem aus der Variationsrechnung (d. h. ein Variationsproblem) zu lösen.

Die Variationsrechnung ist Mathematik. Warum habe ich eigentlich damit angefangen? Die Antwort auf diese Frage ist das Thema in diesem Beitrag. Willkommen!

Nun sind wir wieder bei der Physik. Konkret möchte ich über die „analytische Mechanik“ sprechen (auch „theoretische Mechanik“ genannt). Noch konkreter: Hierbei handelt es sich um den „Lagrange-Formalismus“ zur klassischen Mechanik. Diese Formulierung bzw. dieser Zugang zur Mechanik wurde im Jahr 1788 von Joseph-Louis de Lagrange eingeführt. Der Name dieses Mathematikers lässt auf den ersten Blick vermuten, dass er Franzose war. Dies ist aber falsch, er war Italiener. Sein Geburtsname war „Giuseppe Lodovico Lagrangia“. Der französiche Name entstand erst bei seiner Einbürgerung.

Die newtonsche Formulierung der klassichen Mechanik (siehe Beitrag „die Bewegungsgesetze“) hat den Begriff der „Kraft“ als grundlegende physikalische Ursache der Bewegungsänderung eines (in einem Inertialsystem beschriebenen) Körpers. Das zweite newtonsche Gesetz (F = m * a) ist erst eine komplette Beschreibung eines physikalischen Problems, wenn die konkrete Formel (der konkrete Ausdruck) für die Kraft auch angegeben wird. Eine konkrete Kraftformel ist die im Gravitationsgesetz (siehe Beitrag „Isaac Newton und der Apfelbaum“). Das zweite newtonsche Gesetz mit der Kraftfunktion ist mathematisch gesehen eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Das bedeutet nur, dass das mathematische Grundproblem, um die Bahn eines punktförmigen Teilchens in einer bestimmten physikalischen Situation (z. B. in einem Gravitationsfeld) herauszufinden, eine mathematisch lokale Form hat. Hier ist mit „lokal“ gemeint, dass die mathematische Beziehung (die Gleichung) immer Aussagen über einzelne Punkte im Raum macht. Solche lokalen Prinzipien nennt man auch „Differenzialprinzipien“.

Das Pendant zu den Differenzialprinzipien sind die „Integralprinzipien“, also Aussagen eines globalen Charakters. Im Beitrag „das fermatsche Prinzip“ wurde das erste Integralprinzip besprochen. Konkret handelte es sich dabei um die Gesamtzeit, welche das Licht braucht, um von einem Punkt zu einem anderen Punkt durch ein beliebiges optisches System zu gehen. Solche Aussagen betreffen nicht nur einzelne Positionen im Raum, sondern eine ganze Kurve bzw. einen ganzen Pfad. In diesem Beitrag geht es erneut um ein (anderes) Integralprinzip: Das „hamiltonsche Prinzip der Mechanik“. Solche Prinzipien spielen nicht nur eine grundlegende Rolle in der geometrischen Optik, sondern auch in der klassischen Mechanik (und eigentlich sogar für die gesamte theoretische Physik).

Die lagrangesche Formulierung der klassichen Mechanik ergibt sich also aus dem hamiltonschen Prinzip. Eigentlich ist diese Beschreibung nicht historisch korrekt, denn Hamilton hat erst nach Lagrange seinen Senf (sein Prinzip) dazu beigetragen, aber das von Lagrange angenommene Prinzip ist damit äquivalent. Die hier besprochenen Zusammenhänge sind also berechtigt.

Das hamiltonsche Prinzip ist ein Variationsprinzip und dient als Ausgangspunkt für die lagrangesche Formulierung der Mechanik. Es besagt Folgendes:

Die zeitliche Evolution eines physikalischen Systems ist diejenige mit der stationären Wirkung.

Das hamiltonsche Prinzip wird auch mit dem nicht ganz korrekten Namen „Prinzip der kleinsten Wirkung“ bezeichnet. Ein richtiger Name ist „Prinzip der stationären Wirkung“. Aber was soll die „Wirkung“ denn überhaupt sein?

Die Wirkung ist das physikalische Äquivalent des „Abstandes“ im vorherigen Artikel. Mit anderen Worten: Die Wirkung ist eine intuitiv nicht fassbare Größe für die Beschreibung eines physikalischen Systems. Konkret hat sie die Einheiten von „Energie mal Zeit“ und stellt die zeitliche Evolution des Systems dar. Die zeitliche Evolution des Systems (d. h. die Lösung eines gegebenen physikalischen Problems) ergibt sich dabei aus der Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung.

Ich weiß, das alles klingt sehr abstrakt (weil es abstrakt ist).

In der Mathematik war der Begriff „Abstand“ (und die Formel dafür) direkt da. Wir wussten also von Anfang an, welche Funktion im Integralprinzip auftaucht. Nun ist es anders: Wir nehmen an, dass das hamiltonsche Prinzip gilt, wissen aber noch nicht, welche mathematische Funktion die Physik des Systems beschreibt. Etwas konkreter vielleicht: Wir brauchen etwas wie den Begriff der „Kraft“ in der newtonschen Physik. Wir brauchen etwas, was der physikalische Ausdruck einer Wechselwirkung ist. Mit dem hamiltonschen Prinzip haben wir sozusagen die Spielregeln, aber noch keine Spieler im Spiel.

Der Spieler im Spiel ist die sogenannte „Lagrange-Funktion“. Okay, der Name ist im Nachhinein einleuchtend, aber das ist ja nur ein Name. Was ist diese Funktion? Welche mathematische Form hat sie? Welche physikalischen Größen kommen darin vor?

Die einfachste Lagrange-Funktion ist die eines freien Körpers, also eines Körpers in geradliniger und gleichförmiger Bewegung (d. h. mit konstanter Geschwindigkeit). Die Lagrange-Funktion lautet dafür L = T, mit T der kinetischen Energie. Mit anderen Worten: Die Lagrange-Funktion eines freien Körpers ist genau die kinetische Energie des Körpers.

Und was ist die kinetische Energie? Das ist T = 1/2 * m * v², also die Hälfte des Produktes aus der Masse mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Der Faktor 1/2 ist dabei aber reine Konvention und geschichtlich bedingt (Erklärung für besonders Neugierige: Das hat damit zu tun, dass die (zuerst ausgearbeitete) newtonsche Formel F = m * a keine Proportionalitätskonstante enthält).

Im allgemeineren Fall, also bei einem Körper in Wechselwirkung mit irgendwas anderem (das coolere Wort dafür war einfach bis jetzt das „physikalische System“), lautet die Lagrange-Funktion: L = T - V. Hier ist V die sogenannte „Potentialfunktion“ (oder „Skalarpotential“, oder einfach nur „Potential“). Die Potentialfunktion ist einfach nur „das was fehlt“ um die eigentlichen physikalischen Ursachen hinter der zeitlichen Evolution eines Systems zu beschreiben. Für Newton kam hierfür die Kraft ins Spiel (eine gerichtete Größe, also ein Vektor). Für Lagrange gab es stattdessen das Potential (zu seiner Zeit noch „vis viva“ genannt, also die „lebendige Kraft“), welche wiederum eine skalare Größe ist (eine Zahl mit der physikalischen Einheit von Energie). Der heutige Name ist weniger spirituell, aber genauso nichtssagend.

Zusammengefasst: Die Lagrange-Funktion stellt ein physikalisches System dar. Das zeitliche Integral der Lagrange-Funktion zwischen zwei bestimmten Zeitpunkten ist die Wirkung. Die Wirkung ist nach dem hamiltonschen Prinzip stationär. Dies bedeutet wiederum, dass die Euler-Lagrange-Gleichung (für die Lagrange-Funktion) erfüllt ist. Die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung ist die genaue Evolution des physikalischen Systems, also z. B. die Bahn eines punktförmigen Teilchens.

Im newtonschen Zugang wird mit Vektoren (mit den Kräften) hantiert. Im lagrangeschen Zugang wird stattdessen mit einer einzelnen Funktion gearbeitet, der Lagrange-Funktion. Einer der Vorteile dieses (zugegeben!) abstrakteren Zugangs ist seine Allgemeingültigkeit (die gleichen Prinzipien gelten für „kontinuierliche Massenverteilungen“ und „Felder“). Noch ein Vorteil ist die Tatsache, dass ein einzelnes (!) Prinzip die gesamte Mechanik enthält. Ein weiterer Vorteil ist die mathematische Handhabung von Zwangsbedingungen. Darüber hinaus gibt es dabei auch noch Einsicht in die Rolle von Symmetrien und Erhaltungssätzen (siehe Beitrag übers Noether-Theorem). Und zu guter Letzt: Der Zugang zur Quantenmechanik geschieht über die sogenannte hamiltonsche Mechanik, welche wir in einem zukünftigen Beitrag besprechen werden und die ebenfalls zu den Variationsprinzipien der Physik gehört.

Die Variationsprinzipien sind also nicht nur etwas gespenstisch, sondern auch von grundlegender Bedeutung für die gesamte Physik.

Bis zum nächsten Mal! (Viel Spaß mit „The Big Bang Theory“!)

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"All I do is win, win, win no matter what"

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"Ungh, ungh, Ludacris going in on the verse, 'Cause I never been defeated and I won't stop now"