昨天看了牛津大学组织的教育学讲座，授课教授是美国伯克利大学数学教育专家Alan Schoenfeld，题目是：“为什么教数学、学数学那么难？” （http://www.education.ox.ac.uk/events/why-are-learning-and-teaching-mathematics-so-difficult/

S教授的讲座中，相当一部分时间用于讨论美国办学制度和教育研究经费问题，这等话题与非美国教育家没有直接的关系，我今天不多写这方面。关于教育模式，他主要介绍TRU框架。TRU是teaching for robust understanding的缩写（以透彻理解为目标的教学），它本身不是数学大纲，而是建立大纲和授课模式的工具，可以说是一种数学教学理论。（https://truframework.org/

首先，它设置的目标是，要培养学生的数学思维，学生不仅仅要学会数学知识，他们要养成数学思维的习惯、能力和态度。关于这个目标，S教授展开得比较少，但跟传统的”有数学能力“来比，可看得出来数学思维要求学生能够在日常生活中和新的环境中发掘数字和数学的作用和规律，不受限于事前学过的课本内容，而且要不怕数学，愿意把数学当自有的工具和财产。就是说，除了能力以外，数学思维还提出了应变和态度上的要求。

特别重要的是，数学思维有四个层面：(1)数学能力、(2)处理陌生问题的方法、(3)元认知能力（既检查和管理自己的思维）、(4)数学认同的姿态

其中，S教授说教学大纲往往忽略了(2)和(3)，导致有的学生在新生活环境中或者在新的题型面前束手无策；有的学生只能套用既定方法，不会判断自己的图解方式是否正确，更不能退一步重新考虑问题。

怎么培养学生的数学思维呢？TRU框架的主要内容是五个分析维度，S教授说有充分的研究证明，授课模式和学习环境只要做到五个维度都体现了，基本可以保证每个学生的数学思维就能快速进步。

五个维度分别是：

Content 丰富多彩的数学内容，包括教学大纲、课案和授课材料

Cognitive Demand 适当的难度

Equitable Access to Content 平等的学习机会，保证学习环境和授课方式没有排斥部分学生

Agency, Ownership, and Identity 平等的参与权，保证学习环境能包容每个学生讲话提议

Formative Assessment 形成性评估，既学习过程中确认学生进度，发现和纠正错误

S教授建议从学生的角度去评价数学课，从五个维度出发，可以概括学生的听课体验：

一、（内容）我能不能理解老师今天教的是什么内容？

二、（难度）老师有没有给我足够的时间来消化思考问题？

三、（机会）内容是否贴近我的生活经验？

四、（参与）老师有没有让我说话参与学习过程？

五、（形成性评估）根据我的提议，有没有收到及时的反馈？

S教授播放了一个视频，给我们看芝加哥市一所很普通的中学的数学课，虽然环境不算富裕，老师也才教了一年多的书，但因为用了好的课案，一次形成性评估课可以做到五个维度都呈现了：学生收到一组从0到1数值不同的卡牌，但数值都用不同方式表达：有分数，有百分比，有小数，还有小图标。学生需要从小到大正确排列，然后小组讨论，用很规范的辩论语句来互相澄清不同意见，最终做到小组都统一意见。可看到，学生都觉得这个练习是可以完成的，但有一定的难度（难度适当）；大家都有自己的一套材料，都能看得清看得懂（学习机会）；大家都有机会把自己的想法说给同学听（参与权），又受到同学的及时反馈（形成性评估）；而且参与度很高，明显对这些学生，这些内容有一定的吸引力（好内容）。

课案材料链接： （https://www.map.mathshell.org/download.php?fileid=1594

（个人感觉：这种视频让我有点受不了，如果每节课学生都这么听话这么积极的话，谁都不需要教学方法论，乖孩子好教，根本没有问题。不过话说回来，好的教学内容和方法就会促进孩子听课，老师的能力和学生的纪律是相辅相成的...对经验不多的我来说，课堂纪律还是最大的问题，忙碌维护秩序时，感觉自己没有那么多余力去管教学目标...哎！）

最终，S教授谈谈社会偏见和社会大环境会怎样影响到数学课堂中的孩子，这些问题与美国的特殊社会情况有密切关系，这里就不多说了。

关于TRU框架，还可以看这里：http://www.hs2z.org.cn/dzzgz/dzzgz-xxjl/2018-11-14/index_4288.html